Mots-clés
Touche chaque carte pour voir son sens. Regarde les 8 cartes.
soustraire deux polynômes
Touche pour retourner
soustraire deux polynômes
calculer leur différence : (5x + 3) − (2x + 1)
l’opposé d’un polynôme
Touche pour retourner
l’opposé d’un polynôme
on change le signe de chaque terme : l’opposé de 2x + 1 est −2x − 1
transformer
Touche pour retourner
transformer
changer une soustraction en addition de l’opposé
le polynôme à soustraire
Touche pour retourner
le polynôme à soustraire
celui qui est après le signe −
la règle des signes
Touche pour retourner
la règle des signes
−(+a) = −a et −(−a) = +a
la soustraction verticale
Touche pour retourner
la soustraction verticale
je change les signes, puis j’additionne en colonnes
des termes semblables
Touche pour retourner
des termes semblables
mêmes variables avec les mêmes exposants
la différence
Touche pour retourner
la différence
le résultat d’une soustraction
Je me prépare
Ce que tu sais déjà : l’addition de deux polynômes (tâche 4) et la soustraction des nombres relatifs.
(2x + 3y) + (4x + 5y) =
7 − (+2) =
Je me prépare : ce que je sais déjà
Ce que je sais déjà.
−Soustraire un nombrec’est ajouter son opposé : 5 − (−3) = 5 + 3.
+Additionner deux polynômesj’enlève les parenthèses, je regroupe, je réduis.
?La question d’aujourd’huiComment calculer (5x + 3) − (2x + 1) ?
Voici la tâche à réussir
À la fin de cette tâche, tu seras capable de réussir une tâche comme celle-ci :
Effectue la soustraction (5x + 3) − (2x + 1), puis (4x2 + 2x − 3) − (x2 − 5x + 1).
(5x + 3) − (2x + 1) = 3x + 2
(4x2 + 2x − 3) − (x2 − 5x + 1) = 3x2 + 7x − 4
Voilà la tâche réussie.
Voici les critères pour réussir
Pour réussir la tâche, je dois savoir 3 choses.
±Je change les signes de tous les termes du polynôme à soustraire, pas seulement du premier.
1erLe premier polynôme ne change pas.
ΣEnsuite, c’est une addition : je regroupe les termes semblables et je réduis.
Voici ma méthode
Pour soustraire deux polynômes en ligne, j’utilise toujours la même méthode, en 4 étapes.
1Je transforme la soustraction en additionJ’ajoute l’opposé : je change les signes de tous les termes du polynôme à soustraire.
2J’enlève les parenthèsesElles sont maintenant précédées de + : les signes ne changent plus.
3Je regroupe les termes semblablesJe les mets côte à côte, chacun avec son signe.
4Je calculeJ’additionne les coefficients des termes semblables.
Je retiens : la soustraction de deux polynômes
Je te montre comment je fais
Soustraire deux polynômes.
(4x2 + 2x − 3) − (x2 − 5x + 1)
(4x2 + 2x − 3) + (−x2 + 5x − 1)
| 4x2 | + 2x | − 3 |
| + | −x2 | + 5x | − 1 |
| 3x2 | + 7x | − 4 |
3x2 + 7x − 4
une addition
- RègleSoustraire un polynôme, c’est ajouter son opposé : je change les signes de tous ses termes. −(x2 − 5x + 1) = + (−x2 + 5x − 1).
- Exemple : (5x + 3) − (2x + 1) = 5x + 3 − 2x − 1 = 3x + 2.
- Soustraction verticaleJe change les signes de tous les termes du polynôme à soustraire, puis j’effectue l’addition en colonnes.
- Je retiensAprès le changement de signes, c’est une addition.
Je retiens : je vérifie que j’ai compris
L’opposé de 2x + 1 est :
(5x + 3) − (2x + 1) =
Après le changement de signes, je fais :
J'étudie l'exemple
Réfléchis d’abord. Puis regarde chaque étape.
Je te montre comment je fais
Exemple 1 Deux binômesEffectue (5x + 3) − (2x + 1).
1 Je transforme la soustraction en addition2 J’enlève les parenthèses3 Je regroupe les termes semblables4 Je calcule
(5x + 3) − (2x + 1)
(5x + 3) + (−2x − 1)
5x + 3 − 2x − 1
(5x − 2x) + (3 − 1)
3x + 2
Essaie d’abord. La différence est :
- Je transforme la soustraction en addition(5x + 3) + (−2x − 1) : les deux signes changent.
- J’enlève les parenthèses5x + 3 − 2x − 1
- Je regroupe les termes semblables(5x − 2x) + (3 − 1)
- Je calcule3x + 2
Je retiensJe vérifie : (3x + 2) + (2x + 1) = 5x + 3. ✓
J'étudie l'exemple
Je te montre comment je fais
Exemple 2 Deux trinômesEffectue (4x2 + 2x − 3) − (x2 − 5x + 1).
1 Je transforme la soustraction en addition2 J’enlève les parenthèses3 Je regroupe les termes semblables4 Je calcule
(4x2 + 2x − 3) − (x2 − 5x + 1)
(4x2 + 2x − 3) + (−x2 + 5x − 1)
4x2 + 2x − 3 − x2 + 5x − 1
(4x2 − x2) + (2x + 5x) + (−3 − 1)
3x2 + 7x − 4
Essaie d’abord. La différence est :
- Je transforme la soustraction en addition(4x2 + 2x − 3) + (−x2 + 5x − 1)
- J’enlève les parenthèses4x2 + 2x − 3 − x2 + 5x − 1
- Je regroupe les termes semblables(4x2 − x2) + (2x + 5x) + (−3 − 1)
- Je calcule3x2 + 7x − 4
Je retiensJe vérifie : −(−5x) = +5x. ✓
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Je te montre comment je fais
Exemple 3 Un terme négatifEffectue (3a − 2b) − (−a + 4b).
1 Je transforme la soustraction en addition2 J’enlève les parenthèses3 Je regroupe les termes semblables4 Je calcule
(3a − 2b) − (−a + 4b)
(3a − 2b) + (a − 4b)
3a − 2b + a − 4b
(3a + a) + (−2b − 4b)
4a − 6b
Essaie d’abord. La différence est :
- Je transforme la soustraction en addition(3a − 2b) + (a − 4b) : −a devient +a.
- J’enlève les parenthèses3a − 2b + a − 4b
- Je regroupe les termes semblables(3a + a) + (−2b − 4b)
- Je calcule4a − 6b
Je retiensJe vérifie : −(−a) = +a. ✓
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Je te montre comment je fais
Exemple 4 Des termes non semblablesEffectue (x2 + 1) − (3x − 2).
1 Je transforme la soustraction en addition2 J’enlève les parenthèses3 Je regroupe les termes semblables4 Je calcule
(x2 + 1) − (3x − 2)
(x2 + 1) + (−3x + 2)
x2 + 1 − 3x + 2
x2 − 3x + (1 + 2)
x2 − 3x + 3
Essaie d’abord. La différence est :
- Je transforme la soustraction en addition(x2 + 1) + (−3x + 2)
- J’enlève les parenthèsesx2 + 1 − 3x + 2
- Je regroupe les termes semblablesx2 − 3x + (1 + 2)
- Je calculex2 − 3x + 3
Je retiensJe vérifie : −(−2) = +2. ✓
J'étudie l'exemple
Je te montre comment je fais
Exemple 5 Des termes qui s’annulentEffectue (2xy − y2) − (2xy + y2).
1 Je transforme la soustraction en addition2 J’enlève les parenthèses3 Je regroupe les termes semblables4 Je calcule
(2xy − y2) − (2xy + y2)
(2xy − y2) + (−2xy − y2)
2xy − y2 − 2xy − y2
(2xy − 2xy) + (−y2 − y2)
−2y2
Essaie d’abord. La différence est :
- Je transforme la soustraction en addition(2xy − y2) + (−2xy − y2)
- J’enlève les parenthèses2xy − y2 − 2xy − y2
- Je regroupe les termes semblables(2xy − 2xy) + (−y2 − y2)
- Je calcule0 − 2y2 = −2y2
Je retiensJe vérifie : 2xy − 2xy = 0. ✓
Attention !
Beaucoup d’élèves font ces erreurs. Réfléchis, puis vérifie.
Les erreurs à éviter
Vrai ou faux ? Sara écrit : (5x + 3) − (2x + 1) = 5x + 3 − 2x + 1.
Qu’en penses-tu ?
- J’observeSara a changé le signe du premier terme seulement.
- Je me rappelleJe change les signes de tous les termes du polynôme à soustraire.
- Je conclusC’est faux : 5x + 3 − 2x − 1 = 3x + 2.
Erreur 1 Changer un seul signe.
→ Tous les termes après le − changent de signe.
Attention !
Les erreurs à éviter
Yassine écrit : (4x − 1) − (x + 2) = 4x − 1 + x + 2. A-t-il raison ?
- J’observeYassine a enlevé la parenthèse sans changer les signes.
- Je me rappelleUne parenthèse précédée de − : je change les signes.
- Je conclusIl se trompe : 4x − 1 − x − 2 = 3x − 3.
Erreur 2 Oublier de changer les signes.
→ Je transforme d’abord en addition de l’opposé.
Attention !
Les erreurs à éviter
Vrai ou faux ? Karim écrit : (3a − 2b) − (a + b) = −3a + 2b − a − b.
Qu’en penses-tu ?
- J’observeKarim a aussi changé les signes du premier polynôme.
- Je me rappelleSeul le polynôme à soustraire change de signes.
- Je conclusC’est faux : 3a − 2b − a − b = 2a − 3b.
Erreur 3 Changer les signes du premier polynôme.
→ Le premier polynôme reste comme il est.
Attention !
Les erreurs à éviter
Nora écrit : 3a − (−a) = 2a. A-t-elle raison ?
- J’observeNora a gardé le signe − devant a.
- Je me rappelle−(−a) = +a.
- Je conclusElle se trompe : 3a + a = 4a.
Erreur 4 Se tromper avec −(−).
→ Moins par moins donne plus.
On essaie ensemble
On applique la méthode ensemble, étape par étape.
AEffectue (6x + 5) − (2x + 3).
1. Je transforme en addition :
2. J’enlève les parenthèses :
3 et 4. Je regroupe et je calcule :
Pourquoi ? J’ai changé le signe de 3…
On essaie ensemble
BLa soustraction en colonnes.
Pour (4x2 + 2x − 3) − (x2 − 5x + 1), la 2e ligne en colonnes est :
Le résultat de l’addition en colonnes est :
| 4x2 | + 2x | − 3 |
| + | −x2 | + 5x | − 1 |
| 3x2 | + 7x | − 4 |
On essaie ensemble
CRemets les 4 étapes de la méthode dans le bon ordre.
Touche les 4 étapes de la méthode dans le bon ordre.
On essaie ensemble
DEffectue (a2 + 2a) − (3a2 − a + 4).
La différence est :
Indice : L’opposé de 3a2 − a + 4 est −3a2 + a − 4.
Je m'entraîne
À toi ! Un indice est disponible si tu en as besoin.
a
(7x + 4) − (3x + 1) =
Indice : L’opposé de 3x + 1 est −3x − 1.
Je m'entraîne
b
(5y − 2) − (y + 3) =
Indice : 5y − 2 − y − 3.
Je m'entraîne
c
L’opposé de x2 − 4x + 2 est :
Je m'entraîne
d
(3x2 + x) − (x2 − 2x) =
Je m'entraîne
Maintenant, sans indice.
e
(4a + b) − (−a + 2b) =
Je m'entraîne
f
(x2 + 5) − (x2 − 3) =
Je m'entraîne
g
En colonnes, pour soustraire 2x2 − x, j’écris :
Je m'entraîne
h
(2ab − 3) − (5ab − 3) =
Je m'entraîne
i
(y2 − 2y + 1) − (y2 + 2y + 1) =
Dans la vie
Soustraire des polynômes dans la vie.
Sara a (5x + 20) DH. Elle dépense (2x + 8) DH. Il lui reste :
Dans la vie
Une planche mesure (4x + 3) cm. On coupe (x − 1) cm. Il reste :
Dans la vie
Un terrain a une aire (x2 + 6x) m². La maison occupe (x2 + 2x) m². Le jardin a une aire de :
Je vérifie
C’est la tâche annoncée au début, avec d’autres expressions. Sans aide. 6 questions : il faut 5 bonnes réponses du premier coup (80 %).
(5x + 3) − (2x + 1) =
(4x2 + 2x − 3) − (x2 − 5x + 1) =
(6a − b) − (2a − 3b) =
(y2 + 4) − (2y2 + y) =
(3x − 2) − (3x − 2) =
Je vérifie
(xy + 5) − (−xy + 1) =
Défi
Pour aller plus loin. Réfléchis avant de toucher.
Quel polynôme faut-il soustraire à 5x + 7 pour obtenir 2x + 3 ?
Défi
Est-ce que A − B = B − A avec A = 2x + 1 et B = x ?
Je résume : qu’ai-je appris ?
Dis avec tes mots ce que tu as appris.
Aujourd’hui, j’ai appris à…
Je résume : comment je fais ?
Pour soustraire un polynôme…
Je résume : ce que je retiens
Découvre les éléments un par un.
Ce que je dois retenir de cette tâche.
(4x2 + 2x − 3) − (x2 − 5x + 1)
- La règleSoustraire un polynôme, c’est ajouter son opposé.
- Les signesJe change les signes de tous les termes du polynôme à soustraire. Le premier ne change pas.
- EnsuiteJ’enlève les parenthèses, je regroupe les termes semblables, je calcule.
- En colonnesJe change les signes, puis j’additionne chaque colonne.
Je résume : mon taux de maîtrise
Je résume : je sais faire
Les cases se cochent selon tes réponses dans « Je m’entraîne », « Dans la vie » et « Je vérifie ».
Je change les signes du polynôme à soustraire.
Je regroupe et je calcule la différence.
Je soustrais en colonnes.
Je soustrais dans une situation.
Je résume : et maintenant ?
Je révise : reviens plus tard refaire « Je vérifie », pour être sûr que tu sais toujours le faire.
Mes activitésPour t’entraîner encore et mieux retenir.